Pour permettre d'apporter une preuve expérimentale, élégante et simple de la rotation de la Terre sur elle-même, Foucault imagina plusieurs expériences qui utilisent les propriétés d'un pendule simple. Celle réalisée au Panthéon eut un grand succès populaire. Il fit connaître sa découverte à l'Académie en 1851 ; voici des extraits du texte de sa communication :

" Le mouvement de la Terre sur elle-même est ici rendu évident au moyen d'un grand pendule, dont le fil attaché au sommet de la coupole descend jusqu'au niveau de la rampe et porte à son extrémité inférieure une boule formée d'une enveloppe de cuivre renfermant une masse de plomb qui la remplit complètement. Le fil a 67 mètres de long. ..; la boule pèse 28 kilogrammes. ..
Quand il est au repos, le pendule marque le point de centre commun à la table et au grand cercle de bois (la rampe) qui l'entoure.
Ce cercle... a... 6 mètres de diamètre..." .

(Voir figure ci-dessus)

..."Si (...) on éloigne de sa position d'équilibre la masse du pendule et si on l'abandonne à l'action de la pesanteur sans lui communiquer aucune impulsion latérale, son centre de gravité repassera par la verticale, et, en vertu de la vitesse acquise, il s'élèvera de l'autre côté de la verticale à une hauteur presque égale à celle d'où il est parti. Parvenu à ce point, sa vitesse expire, change de signe, et le ramène, en le faisant encore passer par la verticale, un peu au-dessous de son point de départ. Ainsi l'on provoque un mouvement oscillatoire de la masse pendulaire suivant un arc de cercle dont le plan est nettement déterminé et auquel l'inertie de la masse assure une position invariable dans l'espace".

" Ce pendule, le plus grand qui ait été construit jusqu'ici, donne une oscillation de huit secondes; il lui faut seize secondes pour aller et venir. Quoique ces oscillations diminuent d'amplitude assez rapidement, au bout de cinq ou six heures, elles sont encore assez grandes".

" Pour lancer le pendule on écarte la "boule" jusqu'au bord du grand cercle en bois et on le lâche sans vitesse initiale ". ..et, pour voir comment il marche, on place sur le rebord du cercle de bois deux bancs (ras) de sable humide, fraichement moulés. Ils sont alignés selon la course du pendule. Celui-ci pratique en passant sur chacun d'eux, une petite brèche qui s'agrandit de plus en plus tant que les oscillations dépassent le cercle de bois. L'agrandissement de la brèche a toujours lieu vers la gauche de la personne qui regarde vers le centre, comme si le plan d'oscillation tournait de droite à gauche. ..".

Dans toutes les expressions littérales on notera l la longueur du fil, m la masse de la boule.
Pour les applications numériques on prendra g = 9,81 .

1.Vérifiez que l'amplitude angulaire maximale donnée au pendule est = 2,6°.

2. Le mot " oscillation" utilisé par Foucault dans le passage " donne une
oscillation de huit secondes " vous paraît-il correctement employé? Pourquoi?

3. a) La période des petites oscillations pour un pendule simple a pour expression :

Vérifiez par l'analyse dimensionnelle l'homogénéité de cette formule.

b) Calculez la période d'oscillation d'un pendule simple ayant même longueur de fil que le pendule de Foucault.
En comparant cette valeur à celle de la période du pendule de Foucault, peut-on assimiler ce dernier à un pendule simple?

1. Le pendule est écarté de sa position de repos de l'angle et lâché sans vitesse initiale. L'énergie potentielle du système pendule-Terre est choisie égale à zéro pour la position de repos du pendule.

a) Sous quelles formes le système étudié possède-t-il de l'énergie?

b) Exprimez littéralement l'énergie mécanique de ce système au moment où on lâche le pendule. Calculez sa valeur.

2. On veut calculer la vitesse de la " boule" (considérée comme un point matériel) au premier passage par le point le plus bas de sa trajectoire après son lancement.

a) Quelle hypothèse doit-on faire sur l' énergie mécanique du système pour effectuer ce calcul ?

b) Cette hypothèse étant supposée admise, calculer .

3. Interprétez, en termes de transfert d' énergie, l'évolution de la vitesse du pendule décrite dans le deuxième paragraphe du texte de Foucault.

1. L'expérience du pendule de Foucault est reprise actuellement au Panthéon.
On utilise un pendule de même longueur, de mêmes dimensions, mais de masse 47 kg.
Parmi les grandeurs suivantes, indiquer celles qui sont modifiées et dans quel sens :

a) la période du pendule.

b) l'énergie mécanique initiale du système.
On justifiera les réponses sans calcul numérique.

2. a) Quelle propriété du pendule, évoquée dans le texte, permet de mettre en évidence la rotation de la Terre?

b) Quelle observation faite au moment de l'expérience permet de conclure " Bien sûr qu'elle tourne! " ?

1. Vérification de la valeur de l'angle

on a alors = 2,6°

2.Le terme "oscillation" n'est pas correctement employé, car Foucault écrit : Ce pendule ... donne une oscillation de huit secondes ; il lui faut seize secondes pour aller et venir.
Par définition, une oscillation est un aller et retour.
C'est donc l'oscillation qui s'effectue en seize secondes.

3.a. Vérification de l'homogénéité de la formule de la période
Le terme 2 est sans dimension, alors on a

3.b. La période d'un pendule simple est donnée par la relation
Calculons, la période d'un pendule simple de longueur de fil l = 67 m.
On constate que l'incertitude relative entre la période du pendule de Foucault T = 16 s et cette valeur est :
soit 2,5%.
On peut assimiler le pendule de Foucault a un pendule simple.

1.a. Le système possède de l'énergie sous forme d'énergie cinétique et d'énergie potentielle de pesanteur.

1.b. L'énergie mécanique a pour expression
Origine : Position d'équilibre z = 0
On a alors E = mgl(1-cos) = 28 x 9,81 x 67 x (1 - cos 2,6°) = 18,9 J

2.a. On prend pour hypothèse qu'il y a conservation de l'énergie mécanique.
Ainsi, a la position d'équilibre (z = 0), la vitesse atteint sa valeur maximale

2.b. Par conservation de l'énergie mécanique, on a =
Alors

3. A t = 0, on lâche le pendule. Son énergie potentielle de pesanteur est maximale. Son énergie cinétique est nulle, comme sa vitesse.
De t = 0 à t = t (équilibre), son énergie potentielle de pesanteur diminue et son énergie cinétique croît comme sa vitesse.A t (équilibre), son énergie potentielle de pesanteur est nulle et son énergie cinétique est maximale, comme sa vitesse.

1.a. La période est indépendante de la masse de la boule. Si on change la masse, la période ne change pas et est toujours égale à 16 secondes.

1.b. L'énergie potentielle de pesanteur initiale dépend de la masse . Si la masse augmente, son énergie potentielle de pesanteur initiale augmentera.

2.a. La propriété du pendule , évoquée dans le texte, permettant de mettre en évidence la rotation de la Terre est : ... dont le plan est nettement déterminé et auquel l'inertie de la masse assure une position invariable dans l'espace.
Le plan d'oscillation reste constant, c'est le Panthéon qui tourne !

2.b. L'observation permettant d'affirmer "Bien sûr qu'elle tourne" est la petite brêche qui s'agrandit à chaque passage du pendule, dans le petit tas de sable circulaire.
Les observateurs semblent voir tourner le pendule dans le sens des aiguilles d'une montre "vers la droite".